수학으로 보는 불가능의 가능성: 부피는 채워도 표면은 칠 못하는 도형들

우리는 일반적으로 "작으면 작게, 크면 크게" 느낍니다. 그런데 수학에서는 그 직관이 완전히 무너지는 도형들이 존재합니다. 그중 대표적인 예가 바로 가브리엘의 뿔(Gabriel’s Horn)입니다. 이 도형은 무한히 길지만, 내부 부피는 유한하며, 표면적은 무한입니다. 이 글에서는 그러한 도형의 수학적 구조와 그것이 의미하는 철학적 함의를 함께 살펴봅니다.

 

 

1. 가브리엘의 뿔: 유한한 부피 vs 무한한 표면

y = 1/x (x ≥ 1)의 곡선을 x축 주위로 회전시키면 생성되는 회전체가 바로 가브리엘의 뿔입니다. 이 뿔의 부피는 유한하며, 그 값은 π로 수렴합니다. 하지만 표면적은 무한대입니다. 이것은 물리적으로 “물감 한 통으로 내부는 채울 수 있어도, 외부를 칠할 수는 없다”는 역설을 낳습니다.

 

 

2. 수학적으로 가능한 구조, 물리적으로는 불가능

수학에서는 극한과 무한급수를 통해 이러한 도형이 논리적으로 완전하게 정의됩니다. 하지만 물리학적으로는 문제를 일으킵니다. 무한히 넓은 표면을 가진 물체는 현실 세계에 존재할 수 없고, 무한한 면적에 걸쳐 도포할 수 있는 물감도 존재하지 않습니다. 이처럼 수학은 실제와는 독립된 “가능성의 논리”를 만들어냅니다.

 

 

3. 다른 유사 도형들

• 코흐 곡선(Koch Curve): 길이는 무한하지만, 면적은 유한한 프랙탈 도형.
• 시어핀스키 삼각형: 면적은 0에 수렴하지만, 경계선은 무한히 존재함.
• 페인팅 곡선: 한 선이 전체 면적을 “채우는” 특이한 구조.

이러한 도형들은 모두 프랙탈 또는 자기유사성 구조를 기반으로 하며, 무한의 성질을 시각화하는 대표적인 도구로 활용됩니다.

 

 

4. 수학과 철학, 그리고 개념의 힘

가브리엘의 뿔 같은 도형은 단순한 호기심거리를 넘어서, 무한에 대한 철학적 사유와 현실의 한계를 다시 바라보게 만듭니다. “경계는 존재하지만 도달할 수 없다”는 이 역설은 인식론적 질문과도 닿아 있으며, 컴퓨터 그래픽, 물리학, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 영감을 줍니다.

수학은 현실을 정밀하게 모사하기 위한 도구이면서 동시에, 현실에서는 존재할 수 없는 것들까지도 다룰 수 있는 ‘가능성의 언어’입니다. 우리가 일상에서 느끼는 직관 너머를 바라보고 싶다면, 이런 도형들을 통해 무한을 마주해보는 것도 좋은 출발점이 될 것입니다.